Арифметикэ: хубилбаринуудай хоорондохи илгаа

Арифметикэнь үндэһэндээ тоосоолол хэхэд ашаглагдадаг. Арифметикын үндэһэн дүрэмүүдые объектнуудтай харисаха үдэр тутамын туршалгаһаа гарган абаһан. Тиигэхэлээр гурбан хонин дээрэ хоёрые нэмэхэ, харин дараань баһа дүрбые нэмэхэ, эсэбэлболбол эхилээд дүрбэн хонин дээрэ гурбые нэмэхэ, дараань баһа хоёрые нэмэхэнь шухала буса. Үндэһэндээ энэ дүрэмые холбон бодолтын хуули гэжэ нэрэлдэг: <math>(a+b)+c =a+(b+c)</math>. Холбон бодолтын хуулинь зүбхэн бодито тоое нэмэхэд дэлгэрэһэн түдыгүй, тооной бусад бүхыл хэлбэринүүдтэ баһа дэлгэрбэ.

Нэмэхэ, үрэжүүлхэ үйлэдэлнүүд ямар нэгэ шэнэшэлэлгүй <math>\mathbb N</math> натурал тооной олонлигой хүрээндэ хэрэглэгдэдэг. Бүхэли <math>\mathbb Z</math> тоое олон болгоход <math>\mathbb N</math> тоон дээрэ һүрэг бүхэли тоонууд <math>(-1,-2,-3...)</math> болон <math>0</math> нэмэхэ замаар гараган абадаг. Үүнэй дараа хаһаха үйлэдэлые сүлөөтэй ашаглажа болоно. Саашадаа тооной хүрээе хубааха үйлэдэл хэхэд шаардалгатай <math>\mathbb Q</math> бутархай тоое олонлигой замаар үргэдхэдэг. <math>\mathbb N</math>, <math>\mathbb Z</math>, <math>\mathbb Q</math> хамтадаа рациональ тоо <math>\mathbb Q</math>-эй олонлигые үүдхэһэнээр тэгтэ хубаахаһаа бусад математикын бүхыл үндэһэн үйлэдэлнүүдые сүлөөтэй ашаглаха бололсоое бүридүүлдэг. Рациональ тоо бүри бутархай хэлбэреэр <math>\frac{a}{b}</math> гэхэ ба эндэ <math>b</math>–нь бүхэли тоо байна. Рациональ тооной олонлигые иррациональ болготол үргэдхэхэд хизгааргүй, дабтагдадаггүй арбатын бутархайн бэшэглэлэй боломжые гарган абаха шаардалигтай. Тиимэ хэлбэреэр тойрогой ута болон түүнэй диаметрэй <math>(n)</math> харисаае бэшэдэг. Түүнһээ гадана дурын квадратай тоосоое хизгаарлалтагүйгээр хэхэ бололсоотой болодог. Рациональ болон иррациональ тоонуудой олонлигые нэгэдхэхые жэнхэнэжэнхэни тооной олонлиг <math>\mathbb R</math> гэжэ нэрэлдэг. Юунай үмэнэ бодито аммдаралда хэрэглээгүй тоонуудай олонлигой саашадын үргэдхэлнүүдшье бололсоотой юм. Тэдэгээрэй тоондо хаһаха нэгэжэһээ квадрат изагуур гаргалтаар дамжуулан <math>i^{2} = -1</math> тэгшэтгэлэй шиидэлээр оруулһан хуурмаг тооной олонлигууд хамаарагдана. “Хуурмаг” гэдэг үгэнь тухайн тоонууд хэрэглээнэй тодорхой һалбарида байдаг һанаанһаа зохёомол үзэл баримталал гэдэгые заажа бай хэрэг. Инженерэй болон физикын тоосоолол жэнхэнэжэнхэни болон хуурмаг тоое өөртөө багтааһан согсолбор тоонуудые оруулһанаар хямдааршалагдадаг.